Allgemeines

In der Nachrichtentechnik versteht man ein System als eine Anordnung von verbundenen Komponenten zur Realisierung einer Aufgabenstellung. Ein System kann im mathematischen Sinne als Funktion(en) verstanden werden, die einen Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgängen herstellt.

Systeme

Je nachdem nach welcher der drei Komponenten (Eingang, Ausgang oder System) gesucht wird unterscheidet man:

Systemanalyse - Das Ausgangssignal wird gesucht, gegeben ist das Eingangssignal und das System
Systemsynthese - Das System wird gesucht, gegeben ist das Ein- und Ausgangssignal
Meßtechnik - Das Eingangssignal wird gesucht, gegeben ist das System und das Ausgangssignal

Einordnung von Systemen

Lineare Systeme

Linearität bedeutet, dass der Zusammenhang des Eingangs und des Ausgangs eines Systems eine Lineare Abbildung ist.

Linearität

Wenn der Eingang $x_1[n]$ zum Ausgang $y_1[n]$ führt und $x_2[n]$ zum Ausgang $y_2[n]$ führt, dann muss der addierte und skalierte Eingang $a_1 x_1[n]+ a_2 x_2[n]$ zum addierten und skalierten Ausgang $a_1 y_1[n]+ a_2 y_2[n]$ führen.

Die Linearität ist eine sehr wichtige Systemeigenschaft, den dadurch wird es mögliche komplexe Eingangssignale in einfachere Teilsignale zu zerlegen und die resultierenden Ausgangssignale zu berechnen.

Ein lineares System setzt voraus, dass beim Eingangssignal $x[n]=0$ das Ausgangssignal $y[n]=0$ ist, d.h. es darf keinen konstanten Term in der Systemgleichung geben (z.B. $y[n]=x[n]+2$ ist ein nichtlineares System).

Zeitinvariante Systeme

Zeitinvarianz bedeutet, dass egal zu welchem Zeitpunkt ein Eingangssignal an ein System angelegt wird, das Ausgangssignal (bis auf die zeitliche Verzögerung) ident ist.

Ein lineares System ist zeitinvariant, wenn die Koeffizienten der linearen Differentialgleichung konstant sind. In diesem Fall spricht man von LTI- (engl. für Linear Time Invariant) Systemen.

LTI Systeme sind mittels Digitaltechnik einfach zu realisieren. Bei Analogtechnik gibt hier z.B. Probleme bei der Alterung von Bauteilen oder Temperaturabhängigkeiten.

Länge der Impulsantwort

Die Impulsantwort enthält die vollständige Information um ein zeitdiskretes LTI System zu beschreiben. Je nach Art des Systems gibt es zwei Möglichkeiten:

FIR - engl. für Finite Impuls Response, also endliche Impulsantwort
IIR - engl. für Infinite Impuls Response, also unendliche Impulsantwort

FIR

In einem FIR System hat die Impulsantwort $h[n]$ endlich viele Werte ungleich Null. Die Antwort eines solchen FIR-Systems kann einfach mittels Faltung des Eingangssignals und der Impulsantwort berechnet werden.

Ein FIR System lässt sich wie folgt beschreiben:

$$y[n]=h[0]\cdot x[n] + h[1]\cdot x[n-1] + h[2]\cdot x[n-2] + \ldots + h[N]\cdot x[n-N]=\sum\limits_{k=0}^N h[k] \cdot x[n-k]$$

IIR

Ein IIR System liefert eine unendliche lange Impulsantwort. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. durch eine Rückkopplung der Ausgang zum Zeitpunkt $y[n]$ von $y[n-1]$ abhängig ist.

$$y[n]=\sum\limits_{k=0}^\infty h[k] \cdot x[n-k]$$

Speicher

Der Ausgang eines speicherlosen Systems ist nur vom aktuellen Eingangswert abhängig. Um eine Abhängigkeit von vorangegangenen Eingangswerten zu ermöglichen benötigt das System einen Speicher, um diese Werte entsprechend vorzuhalten.

Ein speicherloses LTI System kann den Eingangswert nur multiplizieren:

$$y[n]=a x[n]$$

Wenn das System einen Speicher besitzt, können auch $N$ frühere Eingangswerte berücksichtigt werden:

$$y[n]=a_0 x[n] + a_1 x[n-1] + a_2 x[n-2] + \ldots = \sum\limits_{k=0}^N a_k x[n-k]$$

Ein System mit einem Speicher nennt man auch ein dynamisches System.

Kausalität

Ein System ist kausal, wenn es nur von aktuellen oder früheren Eingangswerten abhängt, aber keinen zukünftigen.

Beim folgende System ist jeder Ausgangswert das arithmetische Mittel dreier Eingangswerte:

$$y[n]=\frac{1}{3}(x[n-1]+x[n]+x[n+1])$$

Dieses System ist nicht kausal, da der Ausgangswert zum Zeitpunkt $n$ von einem Eingangswert zum Zeitpunkt $n+1$ abhängt.

Das System mit der Eigenschaft der Mittelung von drei Werten lässt sich aber auch kausal formulieren:

$$y[n]=\frac{1}{3}(x[n-2]+x[n-1]+x[n])$$

Stabilität

Ein System gilt als stabil, wenn das Ausgangssignal bei beschränktem Eingangssignal nicht über alle Grenzen anwächst.

Zur Definition von Stabilität gibt es verschiedene Methoden, wobei in der Systemtheorie die sogenannte BIBO-Stabilität üblich ist. BIBO steht für engl. bounded input, bounded output (beschränkter Eingang, beschränkter Ausgang)

In einem LTI System lässt sich die BIBO Stabilität über die Impulsantwort ausdrücken, wenn diese absolut integrierbar ist:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty \left|h[n]\right|\ < \infty$$

Jedes FIR System ist BIBO stabil, da die Summe über die Absolutwerte der Impulsantwort kleiner Unendlich ist (solange kein Koeffizient unendlich ist). Bei einem IIR System ist es möglich nicht BIBO stabil zu sein.

So ist die ein IIR System mit der Impulsantwort $h[n]=u[n]$ (Einheitssprung) nicht BIBO stabil, da die Summe der Werte des Ausgangssignals von 0 bis Unendlich gleich Unendlich ist.

Als Gegenbeispiel ist ein System mit der Impulsantwort $h[n]=e^{-n}$ (für n größer gleich 0) BIBO stabil, obwohl die Impulsantwort unendlich lang ist, sie sich aber 0 immer weiter annähert und daher die Summe kleiner Unendlich ist.